Міністерство освіти і науки України Національний університет ”Львівська політехніка” Інститут прикладної математики та фундаментальних наук кафедра прикладної математики
КУРСОВА РОБОТА з курсу: „Дискретна метематика” на тему: „Алгебри логіки” Анотація У роботі розглянуто основні властивості булевих функцій. Перевірено виконання законів булевої алгебри для двохелементної алгебраїчної структури
. Розглянуто основні закони алгебри Жегалкіна, Шеффера та Пірса. У середовищі програмування С++ реалізується перевід логічних виразів у кожну розглянуту алгебру логіки. Текст програми містить додаток. Зміст Вступ Розділ 1. Булеві змінні і функції 1.1. Двійкові інтерпретації, істотні та фіктивні змінні 1.2. Способи задання булевих функцій 1.2.1. Таблиці істинності 1.2.2. Номери булевих функцій і інтерпретацій 1.2.3. Булеві алгебри: загальна, двохелементна і логічна 1.2.4. Булеві формули і пріоритет операцій 1.2.5 Перехід від формули до таблиці істиності Розділ 2. Алгебри логіки 2.1. Алгебра Буля 2.2. Алгебра Жегалкіна 2.2.1. Тотожності алгебри Жегалкіна 2.2.2. Поліном Жегалкіна 2.3. Алгебра Шеффера 2.4. Алгебра Пірса Висновок Список використаної літератури Вступ В історії логіки виділяють два етапи: 1. Від логіки Давнього світу до виникнення у другій половині XIX ст. сучасної логіки. 2. Від другої половини XIX ст. до наших днів. На першому етапі логіка переважно вирішувала проблеми, поставлені ще Арістотелем. В останні півтора століття в ній відбулись якісні зміни. Щоправда, передумови цих змін з'явилися ще тоді, коли Лейбніц запропонував ідею числення і відповідну формалізовану мову. Цю ідею, як зазначалось, сучасники не зрозуміли і зрештою забули. Проте в другій половині XIX ст., а тим більше в XX ст. на людство чекала ціла злива ідей, завдяки яким сучасна логіка перейшла наукову революцію. Назвемо лише деяких видатних учених, які зробили істотний внесок у її розвиток. Джордж Буль (1815—1864) — один із засновників математичної логіки. Поклавши в основу своїх досліджень аналогію між алгеброю і логікою, він розробив відповідне логічне числення, в якому застосував закони й операції математики (додавання класів, множення тощо). Алгебро-логічний метод дав можливість Булю виявити нові типи висновків, які не враховувались у традиційній силогістиці. Він детально проаналізував закони комутативності, асоціативності, дистрибутивності . Огастес де Морган (1806—1871) — засновник логічного аналізу відношень. Він сформулював основні принципи логіки висловлювань і логіки класів. У розробленій ним алгебрі відношень аналізував операції додавання, множення тощо. У математичній логіці Морган сформулював закони, які носять його ім'я — «закони де Моргана». Готліб Фреге (1848—1925) заклав основи логічної семантики. У своїй фундаментальній праці «Основні закони арифметики» він побудував систему формалізованої арифметики на основі розробленого ним розширеного числення предикатів з метою обґрунтування ідеї про зведення математики до логіки. Ідеї Фреге багато в чому наперед визначили розвиток логіки XX ст.: він увів поняття логічної функції й розрізнення властивостей речей і відношень (а відповідно одномісних і багатомісних логічних функцій); вперше увів символи для позначення кванторів; увів поняття істиннісного значення тощо. Фреге систематично досліджував відношення між мовними виразами і предметами, які позначаються цими виразами; розкрив відмінність між значенням і смислом мовних виразів. Його праці розцінюються як початок нового етапу в розвитку математичної (символічної) логіки. Чарлз-Самдерс Пірс (1839—1914) — родоначальник семіотики (загальної теорії знаків). У своєму численні він використовував як строгу, так і нестрогу диз'юнкції. Пірс сформулював закони матеріальної імплікації. Тривалий час його праці не були відомі широкій науковій громадськості. Давид Гільберт (1862—1943) досяг значних успіхів у застосуванні методу формалізації в тлумаченні логічних умовиводів, у розробці числення висловлювань і предикатів, у дослідженні аксіомати...